数学即音乐,统计即文学(否则,为何没有神童小说家呢?)

Richard D. De Veaux, Williams College, and Paul F. Velleman, Cornell University
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大约30年前,统计入门课程教学变得更难了。并不是因为学生突然变得那么难教了,也并非教授们变得不学无术。而是因为我们开始把统计学教学从一门数学课教学变成一门具有独特规则的艺术和工艺的教学课程。当统计学曾被视为数学的分支时,学生们被教导要掌握公式和计算“正确”的答案,进行死记硬背的练习。那时,教师们在教课和评分上也就自在多了。
改变肇始于80年代早期。那时候,“排除万难”(Against All Odds)系列电视节目刚上映,David Moore和George McCabe也刚出版了《应用统计学导论》(Introduction to the Practice of Statistics)。从那时起,两个先驱性的委员会 – 一个来自美国数学会和ASA,一个来自全国数学教师协会和ASA发布了统计入门课程教学和评估指南,改变了统计学教学。新的教材也依据这些系列报告应运而生,迫使统计教师们落实这种新的教学方法。
但是,为什么这样的教学方法更难?为何我们这样做又显得举足轻重?
与其他学科相比,数学的美大部分源于其公理结构和逻辑发展。这种结构也促进——或不如说支配着——教学的次序。这样确保课程是独立的,所以不会出现意外情况。然而现代统计课程并非如此,这可能要让那些抱着上数学课期望的学生们感到失望了。但是,现代统计课程不像那样,而且那样会挫败学生对数学课的期待。那时,我们当中的一名学生在课程评估表上曾经写道:“这应该更像是一门数学课,事前安排好你所需要的一切。”
数学史上一直盛产神童和天才,许多杰出人物在早期就显示出他们的天赋。我们都听过至少一个有关少年卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)的故事版本。在网络上搜索可以发现100多个有关这个故事的复述版本,但布赖恩·海斯(Brian Hayes)发表在美国科学家的一篇文章《高斯的计算之日》(Gauss’s Day of Reckoning)证实了高斯葬礼上的那个版本。在那个版本中,高斯7岁,在同班同学中年龄最小,只用了几秒时间完成了1到100的求和,在石板上写出答案,然后把答案扔在桌子上,用当地方言喃喃自语说道“这就是答案”。一个小时后,老师发现,他的回答事实上是当时教室里唯一正确的答案。
由于数学本身是一个自致、独立的世界,数学神童们能够很早就显示出天赋。帕斯卡曾在12岁时推理出欧几里得的23条命题,当时他的父母希望他专心研究宗教,但是他们终于做出让步,给了他一本欧几里得的《几何原本》(Euclid’s Elements)。伽罗瓦在20岁时的一次重大决斗前写下了伽罗瓦理论的要点,成为传奇。在现代社会中,诺伯特·维纳(Norbert Weiner)在11岁进入塔夫斯大学;普林斯顿的查尔斯·普费弗曼(Charles Pfefferman)在22岁成为美国历史上最年轻的教授;希伯来大学的露丝劳伦斯(Ruth Lawrence)在9岁时在数学理论考试中达到A,两年后成为牛津大学最年轻的学生。

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当然,数学并不是唯一显示天才的领域。莫扎特、舒曼、门德尔松都是音乐家中年轻的音乐天才。尽管莫扎特成熟后的作品更受欢迎,但他5岁时写得一些音乐仍在演奏之列。
此外,棋类的神童也相继出现。谢尔盖·卡尔亚金(Sergey Karjakin)在12岁零7个月时成为有史以来最年轻的大师。1958年,著名的鲍比·菲舍尔(Bobby Fischer)在15岁6个月零1天时成为大师,当时他在国际棋坛上的排名是第19名。
然而只有少数几个领域会产生神童,这些领域貌似都是完备的。例如,在康涅狄格大学的英语教授托马斯·杜莱克(Thomas Dulack)观察到“在文学上没有神童。”尽管有人可能会争辩说,威廉·布莱恩特(William Cullen Bryant)、托马斯·查特顿(Thomas Chatterton)、霍华德·菲利普斯·洛夫克拉夫特(H. P. Lovecraft)、或玛蒂斯泰潘内克(Mattie Stepanek),可以称为文学天才,但是这些人物并没有我们已经列举的人物的派头。而在诸如艺术、诗歌、哲学或其他需要生活阅历的范畴,则难以发现神童。
这与统计学有什么关系?能告诉我们为何理解统计入门课程如此难教吗?

正如文学和艺术一样,对学生(以及教师)而言,要理解和掌握统计导论这门课,不只需要弄懂其中的公理与法则,而更需要生活阅历和“常识”。虽然初等统计需要一些数学技能,我们要求学统计导论的学生比(例如)学微积分的学生掌握更多技巧。我们不会问一个学初等微积分的学生,要他看看一个问题是否能说得通,或者是否符合假设(例如,水箱是否是圆锥形),以评定由结论所产生的后果,又或者要他用通俗语言向其他人表述出答案。但是,这些正是现代统计入门课程所要求的。
和初等微积分不同的是,我们要教授种类更繁多的技巧,而且除懂得运用数学方法以外,还需要具备判别能力。判断力最好的教学训练方式是通过例子和练习,这需要时间。但是,我们希望学生在一个学期内能够学会这些技能。在标准的第一学期中,完成包括定义、公式和技能等内容的教学任务是很难的。所以,统计入门课程被公认为是在大学教学中最难教的课程。
我们不仅要向二年级学生讲授判别法,而是更希望他们能改变其理解真实世界的方式。P. F.威尔曼(P. F. Velleman)在2003年“超越公式”(Beyond the Formula)大会上的发言中指出,他们必须掌握七种反常的统计思维:
1.批判性的思考。
挑战数据的依据
找偏差和潜伏变量
2.持怀疑态度。
怀疑权威和目前的理论(好吧,大二学生很自然会这么做。)
3.研究变异,而不是中心值。
4去探索我们未知的领域。
例如,置信区间展示了一些我们所不了解的参数信息。
5完善过程。
我们最好的结论往往是一个精致的问题,但是这意味着学生不能记忆“答案”。
6思考条件概率和罕见的事件。
人们只是没有很好做到这一点。不信,问任何一个赌徒。但是,不这样做,学生无法理解p值。
接受模糊的概念。对称、中心、离群值、线性…..这些是统计学中的基本概念,但是长期以来缺乏严格的定义。要想想那些费尽心思要搞出“正确答案”的好学生要学到哪个才不至于感到沮丧呢?
我们要怎样向学生授业解惑呢?关于这个问题,尽管有(总共)50年以上教授统计导论课程的经验,我们也没有准确答案。然而,作为一个机构,我们希望指出一些有助于我们解决这一困难的论题。
我们会给学生提供一个解决问题的框架,以帮助他们锻炼判别思维。在我们的书中,我们建议学生遵循W. E. Deming50年前提出的有关质量管理的建议:计划、执行、检查、行动。我们将行动步骤替换为交流步骤,以强调与别人交流观察结果的重要性。学生必须学会用通俗易懂的语言交流答案,不仅是用统计术语。
正如GAISE所强调的,我们必须更加重视计划步骤和沟通步骤。传统的数学课程重视执行步骤,主要是通过计算和画图来实现。
在教导学生思考问题时,我们帮学生设计思考出发点,然后交流答案,这样,我们使学生学会使用成熟完善的文学才能与现实世界的知识和经验进行直接交流。我们较少向他们解释这样教学的原因。仅强调简单的计算或者只是提供一些定义,这样的做法都是不公平的。教比较文学课程或哲学课程的教师不会这样做,我们也不应该这样做。
我们应该提供什么样的指导?首先,我们可以注意到,通常统计学课程对学生判别力的要求是请他们说出个人看法。(毕竟,他们是那些位于95%置信区间内的人。)但是,我们可以提供给他们有关判别的指导,使他们通过探索、描述、建模的过程来真正了解世界。
其次,我们可以给学生提供一些统计入门课程与其他学科之间相关性的提示。学生学习统计学(或者,也许是必须达到的目的)是为了积累一种对真实世界的知识,这种知识使他们更能够做出统计判断,帮助他们写作和读哲学。当然,我们也要求学生回顾其他课程中所学到的知识来鼓励他们巩固自己在这些课程的知识。
第三,我们必须要求学生展示统计分析的所有步骤,从问题的提出、交流答案,到他们找出对现实世界的看法。然而,能满足这些要求的作业和考试题目更难做,而且更难评分。要求助教们对此进行准确评分可能更成问题。此外,许多统计教师不是统计学专业科班出身,他们也发现这种教学方法很具有挑战性。但是,尽管挑战很大,现代课程的教学结果使学生和老师都受益。
我们还应该对外向学术界推广。统计学教学可以更广泛——甚至是不太合理的说,可以在一个学期内完成。不论是在广度还是在深度上,任何对概念和方法的客观衡量都显示,这是荒谬的乐观。然而,很少有需要一个以上课程的学术课程项目,需要两个课程的课程项目都在缩减。我们需要说明一点,一门统计入门课程必须覆盖一个以上推理入门课程,如果是统计推理课程——教学目标必须是推理(不仅仅是教定义和公式)。但是,一个更完整的课程对技能要求更复杂,如回归和多元回归等课程,是不可能有足够时间教会学生判断力、计划能力和交流能力。这些课程将最有可能被压缩成一个公式和规则的集合。
作为一个社团,我们需要明白统计学应该得到更多的重视和更多的时间,不是因为它涵盖了这么多方法,而是因为它教会我们处理数据的基本推理。不像那些能产生神童的学科,我们这样说是因为学生们必须结合他们的实际知识来学会用统计学的方式进行思考。学生所做的一切值得统计教师和学生的努力。数学有时被认为是科学的语言(也是多数社会科学的语言),而统计学应该让学生能理解科学的奥义。
教这样一门现代化课程的努力值得吗?我们相信它值得。现代的统计课程应该旨在教会学生主动去探索世界,而不是给出一堆解题技巧或像菜谱一样罗列一些例子和公式。虽然这样做使得这门课的教学更难,评估也更难,但是它会使学生的生活发生转变,更有益于他们今后的学术生涯及更高层次的发展。

来源:中国统计网翻译小组
原文链接:http://www.itongji.cn/article/04021Z62013.html