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数据挖掘化功大法(12)——特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程

AX=λX (1)

存在非零解向量,则称 λ 为 A 的一个特征值,相应的非零解向量 X 称为属于特征值λ的特征向量.

(1)式也可写成,

(A-λE)X=0(2)

这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

(3)

上式是以 λ 为未知数的一元 n 次方程,称为方阵 A 的特征方程. 其左端

λ n 次多项式,记作 f(λ) ,称为方阵 A 的特征多项式.

f(λ)=

=

=

显然,A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,n阶矩阵 An 个特征值.设 n 阶矩阵

的特征值为

由多项式的根与系数之间的关系,不难证明

(ⅰ)

(ⅱ)

λA 的一个特征值,则 λ 一定是方程

的根, 因此又称特征根,若λ为方程

重根,则 λ 称为 A

重特征根.方程

的每一个非零解向量都是相应于 λ 的特征向量,于是我们可以得到求矩阵 A 的全部特征值和特征向量的方法如下:

第一步:计算 A 的特征多项式

第二步:求出特征方程

的全部根,即为 A的全部特征值;

第三步:对于 A 的每一个特征值 λ,求出齐次线性方程组:

的一个基础解系

,则 A 的属于特征值 λ 的全部特征向量是

(其中

是不全为零的任意实数).

使用matlab求特征值和特征向量

>>clc;clear;close; 
>>A=[3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1]; 
>>[X,B]=eig(A) %求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值, 
%X的列是相应的特征向量 最后的结果是:
X =
    0.7276   -0.5774    0.6230
    0.4851   -0.5774   -0.2417
    0.4851   -0.5774    0.7439
B =
    1.0000         0         0
         0    0.0000         0
         0         0    1.0000

关于特征值和特征向量的定理

定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

相似矩阵

A B 都是 n 阶方阵,若存在满秩矩阵 P, 使得

则称 A B 相似,记作 A ~ B,且满秩矩阵 P 称为将 A 变为 B 的相似变换矩阵.

“相似”是矩阵间的一种关系,这种关系具有如下性质:

⑴ 反身性:A~A

⑵ 对称性:若 A~B,则 B~A

⑶ 传递性:若 A~B,B~C,则 A~C

相似矩阵还具有下列性质:

相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同的特征值.

对角化这个概念是针对矩阵而言的,并且矩阵的对角化源自于线形变换的化简,所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。

设一线性变换a,在基 m 下的矩阵为 A,在基 n 下的矩阵为 Bm n 的过渡矩阵为 X,那么可以证明:B=X-1AX

那么定义:A,B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵 X,满足 B=X-1AX ,那么说 A B 是相似的(是一种等价关系)。

如果存在可逆矩阵 X 使 A 与一个对角矩阵 B 相似,那么说 A 可对角化。

相应的,如果线性变换 a 在基m下的矩阵为A,并且A相似于对角矩阵B,那么令X为过渡矩阵即可求出基n,并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵,从而达到了化简。

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