小白学统计（64）独立性和一致性的卡方检验—列联表分析方法

卡方检验的应用

卡方检验即可以分析一个变量的拟合程度，如拟合优度检验（二项分布、泊松分布和正态分布）还可以用来分析两个变量间的关系：是否相互独立，是否来自一个总体。对于两个变量关系的分析方法与在拟合优度中的方法略有差别，这里适用了一种称为列联表的表格来进行分析。

列联表

所谓列联表就是一个行列交叉的表格。将研究的两个变量，一个变量按类分行排列，另一个变量按类分列排列，行列交叉处是同属于两个变量不同类的数据。这样的表格称为列联表。如下表所示：

上表就是列联表的形式，表示研究A、B两个变量，A变量有c类，B变量有r类。通常用i表示行，用j表示列，则i=1, 2, …, r; j=1, 2, …,c; n_ij表示第i行和第j列的频数，n表示总的频数，也就是样本容量。

在上述列联表中，频数n_ij是指实际频数。为了检验两个变量是否独立，还需要计算每一个行列的期望频数。我们在之前的篇章中有介绍，如果事件A和事件B相互独立，则有P(A∩B)=P(A)*P(B)。根据这个原理，现在我们作如下假设：

H₀: 两个变量相互独立;

H₁: 两个变量不独立;

则在H₀为真时，第i行的B_i与第j列的A_j的期望频数就应等于P(A_i)*P(B_j)。

我们用P(A_j)=n_.j/n，P(B_i)=n_i./n分别代替P(A_j)和P(B_i)。所以在H₀为真时，第i行第j列的期望概率为：P(A_j∩B_i)=n_.j/n*n_i./n

用样本容量n分别乘以不同行列的期望频率，就可以得到期望频数e_ij。第i行第j列的期望频数为：e_ij=n*n_i./n*n_.j/n=n_i.n_.j/n

即：e_ij=第i行频数合计×第j列频数合计/样本容量。

最后将实际频数n_ij与期望频数e_ij进行比较，判断方法与进行拟合优度时类似，即构造χ²统计量。最后将实际频数n_ij与期望频数e_ij进行比较，判断方法与进行拟合优度时类似，即构造χ²统计量：

该χ²统计量服从自由度为(r-1)(c-1)的卡方分布。当χ²<χ_α²[(r-1)(c-1)]时，拒绝H₀，接受H₁。在进行χ²检验时，仍要注意当各行列的期望频数小于5时，不能使用列联表检验。或者在有意义的情况下合并行和列，或加大样本容量，使各行列的期望频数要大于等于5。