趣题:如何在数据库中秘密地查询隐私数据

如何在数据库中秘密地查询隐私数据?

日常生活中经常会出现这样的场景:你想在数据库上查询某个东西,但却不希望留下线索,让别人知道你查询了什么。比方说,投资人可能会在数据库上查询某支股票的信息,但却不希望任何人知道他感兴趣的股票究竟是哪一支。看上去,似乎唯一的办法就是把整个数据库全部拷回家。然而,这些数据往往都拥有非常庞大的体积,全部拷走通常都是很不现实的;另外,考虑到数据内容的隐私性和数据本身的宝贵价值,数据的持有者通常也不允许其他人把整个数据全盘拷走。不过,随着分布式数据库的广泛应用,上面的难题有了一个两全其美的好办法:假设有两个内容完全相同的数据库,投资人可以先在第一个数据库上执行一个不会透露目的的查询,再在另一个数据库上执行另一个不会透露目的的查询,两次查询结合起来便能推出想要的结果。只要没有人刻意去收集并且对比两个数据库的查询记录,那么谁也不会知道投资人真正想要查询的是什么。在这个背景下,我们有了下面这个有趣的问题。

服务器随机产生了一个 {1, 2, …, 100} 的子集 S ,并且同时发送给了 A 和 B 两名前台工作人员。 A 、 B 两名前台都接受其他人的提问,但为了保护数据,两个人都只能用“是”或者“否”来回答问题,并且都不允许同一个人重复提问。你非常关心某个数 n 是否在这个子集里。其实,你本来可以直接问 A 和 B 中的任何一个人“数字 n 是否在集合 S 里”,但是这样一来,对方就知道了你想要查询的是什么。为此,你可以向 A 和 B 各问一个问题(结合两人的回答便能推出集合 S 里是否包含数字 n ),但却不能让 A 和 B 当中的任何一个人知道你查询的是哪个数(我们假设 A 、 B 两人不会串通起来,把他们各自收到的问题联系在一起)。事实上,你需要保证 A 和 B 两人都不能从你的问题中获取到任何信息,也就是说,对于 A 和 B 当中的任何一个人来说,各种问题出现的概率不会随着 n 值的改变而改变。再换句话说,如果 n 的值变了,那么 A 和 B 各自将会听到的问题应该拥有和原来相同的概率分布。

答案:首先,自己随机生成一个 {1, 2, …, 100} 的子集 T1 (每个数都有 1/2 的概率被选进 T1 )。如果 T1 里面正好包含数字 n ,那么就把 T1 里的数字 n 去掉,把所得的结果记作 T2 ;如果 T1 里面没有数字 n ,那么就在 T1 中加入数字 n ,从而得到 T2 。现在,将 T1 发送给 A ,并询问 T1 里面是否有偶数个数正好也在 S 里。类似地,再将 T2 发送给 B ,并且询问同样的问题:在 T2 里面是否有偶数个数同时也属于 S 。注意, T1 和 T2 的唯一差别,就是一个里面有 n 一个里面没有 n 。因此,如果 A 和 B 的回答是一致的,就说明数字 n 不在 S 里面;如果 A 和 B 的回答不一致,就说明数字 n 在 S 里面。另外,容易看出,不管是 T1 还是 T2 ,从 1 到 100 每个数在里面出现的概率都是 1/2 。因此,不管是 A 还是 B ,他被问到的问题都总是具有完全相同的概率分布,这不随 n 的变化而变化。

这种方案的缺陷就是,每条询问都非常长。为了描述 T1 或者 T2 ,我们需要使用一个 100 位的 01 串,它一共有 100 个 bit 。如果 S 不是 {1, 2, …, 100} 的子集,而是 {1, 2, …, N} 的子集,那么在上述方案中,我们需要给 A 、 B 各发送 O(N) 个 bit 的数据。在 N 非常大的情况下,这么做同样是不现实的。有趣的是,如果前台不止两个人,而是四个人的话,那么我们可以做得更好:我们可以给四个人都只发送 O(√N) 个 bit 的数据,并且同样保证每个人都不能从中推出任何信息来。

为了便于说明,我们现在假设 S 是 {0, 1, 2, …, 99} 的一个子集。假设你想要知道, 67 是否在集合 S 里。于是,你首先随机生成一个 {0, 1, 2, …, 9} 的子集 T1 ,然后在里面加上数字 6 (如果 T1 里没有 6 的话)或者去掉数字 6 (如果 T1 里有 6 的话),得到 T2;再生成另一个 {0, 1, 2, …, 9} 的子集 T3 ,然后在里面加上数字 7 (如果 T3 里没有 7 的话)或者去掉数字 7 (如果 T3 里有 7 的话),得到子集 T4 。接下来,向 A 、 B 、 C 、 D 依次询问下面四个问题

  • A :在所有十位数属于 T1 并且个位数属于 T3 的数当中,是否有偶数个数在集合 S 里。
  • B :在所有十位数属于 T1 并且个位数属于 T4 的数当中,是否有偶数个数在集合 S 里。
  • C :在所有十位数属于 T2 并且个位数属于 T3 的数当中,是否有偶数个数在集合 S 里。
  • D :在所有十位数属于 T2 并且个位数属于 T4 的数当中,是否有偶数个数在集合 S 里。

如果 T1 等于 {2, 4, 7, 8, 6} ,那么 T2 就应该等于 {2, 4, 7, 8} ;如果 T3 等于 {2, 3, 5} ,那么 T4 就应该等于 {2, 3, 5, 7} 。四次询问之后我们便可得知,在下图各种颜色的方框中,属于集合 S 的数有奇数个还是偶数个。结合 A 、 B 的回答(蓝色方框和黄色方框),我们就能推出,在集合 S 当中,十位数属于 T1 并且个位数恰好为 7 的数有奇数个还是偶数个;结合 C 、 D 的回答(红色方框和绿色方框),我们就能推出,在集合 S 当中,十位数属于 T2 并且个位数恰好为 7 的数有奇数个还是偶数个。于是,我们就可以知道,十位数恰好为 6 并且个位数恰好为 7 的数是否在集合 S 当中了。

数据库

类似地,如果集合 S 是 {1, 2, …, N} 的子集,那么我们可以对这 N 个数进行重新编码,使得每个数都由高位和低位组成。那么,高位和低位的取值范围都是从 1 到 √N 。在整个协议中,我们需要给每个人发送两个 {1, 2, …, √N} 的子集,这相当于两个 √N 位的 01 串,因此其数据量为 2√N 个 bit ,也就是 O(√N) 个 bit 。

不过,请注意,虽然与每个人交流的数据量少了,但这次却有四个人了,因而你需要发送四个这么大的数据。当 N 很小的时候, 4 · 2√N 很可能反而比 2 · N 更大。

同样地,如果我们有 2d 个人,我们就可以把 1 到 N 里面的所有数都看作 d 位数,每一位的取值范围是从 1 到 N1/d 。为了完成一次查询,我们需要给每个人发送 d 个 {1, 2, …, N1/d} 的子集,因此总共需要发送 2d · d · N1/d 个 bit 。对于不同的 N ,我们可以选取最合适的 d ,使得 2d · d · N1/d 最小。例如,下图所示的就是 N = 1 000 000 时函数 f(d) = 2d · d · N1/d 的图像,可见 d = 4 时的通信成本是最低的。因此,如果查询点足够多的话,我们可以选择在 16 个不同的地方进行查询。

数据库

参考资料: B. Chor, O. Goldreich, E. Kushilevitz, M. Sudan, Private Information Retrieval, Journal of the ACM (JACM), 1998

作者:Matrix67

链接:http://www.matrix67.com/blog/archives/5387

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