信息增益的基本概念

当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时,我们的预测应当满足全部已知的条件,而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下,概率分布最均匀,预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大,所以称之为“最大熵法”。最大熵法在数学形式上很漂亮,但是实现起来比较复杂,但把它运用于金融领域的诱惑也比较大,比如说决定股票涨落的因素可能有几十甚至上百种,而最大熵方法恰恰能找到一个同时满足成千上万种不同条件的模型。

这里我们先不讨论算法(这里用的是ID3/C4.5),把一棵决策树建立起来再说。我们要建立的决策树的形式类似于“如果天气怎么样,去玩;否则,怎么着怎么着”的树形分叉。那么问题是用哪个属性(即变量,如天气、温度、湿度和风力)最适合充当这颗树的根节点,在它上面没有其他节点,其他的属性都是它的后续节点。借用信息论的概念,我们用一个统计量,“信息增益”(Information Gain)来衡量一个属性区分以上数据样本的能力。信息增益量越大,这个属性作为一棵树的根节点就能使这棵树更简洁,比如说一棵树可以这么读成,如果风力弱,就去玩;风力强,再按天气、温度等分情况讨论,此时用风力作为这棵树的根节点就很有价值。如果说,风力弱,再又天气晴朗,就去玩;如果风力强,再又怎么怎么分情况讨论,这棵树相比就不够简洁了。计算信息增益的公式需要用到“熵”(Entropy)。名词越来越多,让我们通过手工计算记住它们的计算方法,把Excel打开:

1 计算熵

我们检查的属性是是否出去玩。用Excel对上面数据的play变量的各个取值排个序(这个工作簿里把“play”这个词去掉),一共是14条记录,你能数出取值为yes的记录有9个,取值为no的有5个,我们说这个样本里有9个正例,5 个负例,记为S(9+,5-),S是样本的意思(Sample)。这里熵记为Entropy(S),计算公式为:

Entropy(S)= -(9/14)*log(9/14)-(5/14)*log(5/14)

解释一下,9/14是正例的个数与总记录之比,同样5/14是负例占总记录的比例。log(.)是以2为底的对数(我们知道以e为底的对数称为自然对数,记为ln(.),lg(.)表示以10为底的对数)。在Excel里我们可以随便找一个空白的单元格,键入以下公式即得0.940:

=-(9/14)*LOG(9/14,2)-(5/14)*LOG(5/14,2)
这里LOG(9/14,2)中的“2”表示以2为底。类似地,如果你习惯用Matlab做数学运算本,公式为

-(9/14)*log2(9/14)-(5/14)*log2(5/14)

其中“2”的含义与上同。

总结:在这个例子中,我们的输出属性(我们要检查的属性)“play”只有两个取值,同样地,如果输出属性的取值大于2,公式是对成的,一样的形式,连加就是,找到各个取值的个数,求出各自的比例。如果样本具有二元输出属性,其熵的公式为

Entropy(S) =-(p+)*log(p+)-(p-)*log(p-)

其中,p+、p-分别为正例和负例占总记录的比例。输出属性取值大于2的情况,公式是对称的。

2 分别以Wind、Humidity、Outlook和Temperature作为根节点,计算其信息增益

可以数得,属性Wind中取值为Weak的记录有Normal的记录有8条,其中正例6个,负例2个;同样,取值为Strong的记录6个,正例负例个3个。我们可以计算相应的熵为:

Entropy(Weak)=-(6/8)*log(6/8)-(2/8)*log(2/8)=0.811

Entropy(Strong)=-(3/6)*log(3/6)-(3/6)*log(3/6)=1.0

现在就可以计算出相应的信息增益了:

Gain(Wind)=Entropy(S)-(8/14)*Entropy(Weak)-(6/14)*Entropy(Strong)=0.940-(8/14)*0.811-(6/14)*1.0=0.048

这个公式的奥秘在于,8/14是属性Wind取值为Weak的个数占总记录的比例,同样6/14是其取值为Strong的记录个数与总记录数之比。

同理,如果以Humidity作为根节点:

Entropy(High)=0.985 ; Entropy(Normal)=0.592

Gain(Humidity)=0.940-(7/14)*Entropy(High)-(7/14)*Entropy(Normal)=0.151

以Outlook作为根节点:

Entropy(Sunny)=0.971 ; Entropy(Overcast)=0.0 ; Entropy(Rain)=0.971

Gain(Outlook)=0.940-(5/14)*Entropy(Sunny)-(4/14)*Entropy(Overcast)-(5/14)*Entropy(Rain)=0.247

以Temperature作为根节点:

Entropy(Cool)=0.811 ; Entropy(Hot)=1.0 ; Entropy(Mild)=0.918

Gain(Temperature)=0.940-(4/14)*Entropy(Cool)-(4/14)*Entropy(Hot)-(6/14)*Entropy(Mild)=0.029

这样我们就得到了以上四个属性相应的信息增益值:

Gain(Wind)=0.048 ;Gain(Humidity)=0.151 ; Gain(Outlook)=0.247 ;Gain(Temperature)=0.029

最后按照信息增益最大的原则选Outlook为根节点。子节点重复上面的步骤。这颗树可以是这样的,它读起来就跟你认为的那样。

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