1. 数据分析网首页
  2. 大数据
  3. 统计学

贝叶斯的定义及核心原理

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯的定义及核心原理

贝叶斯推断(Bayesian inference)是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理(Bayes’ theorem)的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。

贝叶斯的定义及核心原理

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后,它才获得真正的重视。人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断,就必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算”条件概率”的公式。

所谓”条件概率”(Conditional probability),就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。

贝叶斯的定义及核心原理

根据文氏图,可以很清楚地看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

贝叶斯的定义及核心原理

因此,

贝叶斯的定义及核心原理

同理可得,

贝叶斯的定义及核心原理

所以,

贝叶斯的定义及核心原理

贝叶斯的定义及核心原理

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到,所以除了条件概率以外,这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S,是两个事件A与A’的和。

贝叶斯的定义及核心原理

上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A’,它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下,事件B可以划分成两个部分。

贝叶斯的定义及核心原理

贝叶斯的定义及核心原理

在上一节的推导当中,我们已知

贝叶斯的定义及核心原理

所以,

贝叶斯的定义及核心原理

这就是全概率公式。它的含义是,如果A和A’构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A’的概率分别乘以B的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:

贝叶斯的定义及核心原理

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:

贝叶斯的定义及核心原理

我们把P(A)称为”先验概率”(Prior probability),即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为”后验概率”(Posterior probability),即在B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为”可能性函数”(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。

所以,条件概率可以理解成下面的式子:

后验概率 = 先验概率 x 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率”,然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了”先验概率”,由此得到更接近事实的”后验概率”。

在这里,如果”可能性函数”P(B|A)/P(B)>1,意味着”先验概率”被增强,事件A的发生的可能性变大;如果”可能性函数”=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;如果”可能性函数”<1,意味着”先验概率”被削弱,事件A的可能性变小。

本文采用「CC BY-SA 4.0 CN」协议转载自互联网、仅供学习交流,内容版权归原作者所有,如涉作品、版权和其他问题请给「我们」留言处理。

联系我们

如有建议:>>给我留言

QR code