我理解的朴素贝叶斯模型

条件概率就是在其他事件发生的基础上,某事件发生的概率。

我想说:“任何事件都是条件概率。”为什么呢?因为我认为,任何事件的发生都不是完全偶然的,它都会以其他事件的发生为基础。换句话说,条件概率就是在其他事件发生的基础上,某事件发生的概率。

作者:胡晨川

条件概率是朴素贝叶斯模型的基础

假设,你的xx公司正在面临着用户流失的压力。虽然,你能计算用户整体流失的概率(流失用户数/用户总数)。但这个数字并没有多大意义,因为资源是有限的,利用这个数字你只能撒胡椒面似的把钱撒在所有用户上,显然不经济。你非常想根据用户的某种行为,精确地估计一个用户流失的概率,若这个概率超过某个阀值,再触发用户挽留机制。这样能把钱花到最需要花的地方。

你搜遍脑子里的数据分析方法,终于,一个250年前的人名在脑中闪现。就是“贝叶斯Bayes”。你取得了近一个月的流失用户数、流失用户中未读消息大于5条的人数、近一个月的活跃用户数及活跃用户中未读消息大于5条的人数。在此基础上,你获得了一个“一旦用户未读消息大于5条,他流失的概率高达%”的精确结论。怎么实现这个计算呢?先别着急,为了解释清楚贝叶斯模型,我们先定义一些名词。

  • 概率(Probability)——0和1之间的一个数字,表示一个特定结果发生的可能性。比如投资硬币,“正面朝上”这个特定结果发生的可能性为0.5,这个0.5就是概率。换一种说法,计算样本数据中出现该结果次数的百分比。即你投一百次硬币,正面朝上的次数基本上是50次。
  • 几率(Odds)——某一特定结果发生与不发生的概率比。如果你明天电梯上遇上你暗恋的女孩的概率是0.1,那么遇不上她的概率就是0.9,那么遇上暗恋女孩的几率就是1/9,几率的取值范围是0到无穷大。
  • 似然(Likelihood)——两个相关的条件概率之比,即给定B发生的情况下,某一特定结果A发生的概率和给定B不发生的情况下A发生的概率之比。另一种表达方式是,给定B的情况下A发生的几率和A的整体几率之比。两个计算方式是等价的。

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因为上面在似然当中提到了条件概率,那么我们有必要将什么是条件概率做更详尽的阐述。

如上面的韦恩图,我们用矩形表示一个样本空间,代表随机事件发生的一切可能结果。的在统计学中,我们用符号P表示概率,A事件发生的概率表示为P(A)。两个事件间的概率表达实际上相当繁琐,我们只介绍本书中用得着的关系:

  1. A事件与B事件同时发生的概率表示为P(A∩B),或简写为P(AB)即两个圆圈重叠的部分。
  2. A不发生的概率为1-P(A),写为P(~A),即矩形中除了圆圈A以外的其他部分。
  3. A或者B至少有一个发生的概率表示为P(A∪B),即圆圈A与圆圈B共同覆盖的区域。
  4. 在B事件发生的基础上发生A的概率表示为P(A|B),这便是我们前文所提到的条件概率,图形上它有AB重合的面积比上B的面积。

回到我们的例子。以P(A)代表用户流失的概率,P(B)代表用户有5条以上未读信息的概率,P(B|A)代表用户流失的前提下未读信息大于5条的概率。我们要求未读信息大于5条的用户流失的概率,即P(A|B),贝叶斯公式告诉我们:

P(A|B)=P(AB)/P(B)

              =P(B|A)*P(A)/P(B)

从公式中可知,如果要计算B条件下A发生的概率,只需要计算出后面等式的三个部分,B事件的概率(P(B)),是B的先验概率、A属于某类的概率(P(A)),是A的先验概率、以及已知A的某个分类下,事件B的概率(P(B|A)),是后验概率。

如果要确定某个样本归属于哪一类,则需要计算出归属不同类的概率,再从中挑选出最大的概率

我们把上面的贝叶斯公式写出这样,也许你能更好的理解:

MAX(P(Ai|B))=MAX(P(B|Ai)*P(Ai)/P(B))

而这个公式告诉我们,需要计算最大的后验概率,只需要计算出分子的最大值即可,而不同水平的概率P(C)非常容易获得,故难点就在于P(X|C)的概率计算。而问题的解决,正是聪明之处,即贝叶斯假设变量X间是条件独立的,故而P(X|C)的概率就可以计算为:

P(B|Ai) =P(B1/Ai)*P(B2/Ai)*P(B3/Ai)*…..*P(Bn/Ai)

如下图,由这个公式我们就能轻松计算出,在观察到某用户的未读信息大于5条时,他流失的概率为80%。80%的数值比原来的30%真是靠谱太多了。

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当然,现实情况并不会像这个例子这么理想化。大家会问,凭什么你就会想到用“未读消息大于5条”来作为条件概率?我只能说,现实情况中,你可能要找上一堆觉得能够凸显用户流失的行为,然后一一做贝叶斯规则,来测算他们是否能显著识别用户流失。寻找这个字段的效率,取决于你对业务的理解程度和直觉的敏锐性。另外,你还需要定义“流失”和“活跃”,还需要定义贝叶斯规则计算的基础样本,这决定了结果的精度。

  • 利用全概率公式的一个例子

朴素贝叶斯的应用不止于此,我们再例举一个更复杂,但现实场景也更实际的案例。假设你为了肃清电商平台上的恶性商户(刷单、非法交易、恶性竞争等),委托算法团队开发了一个识别商家是否是恶性商户的模型M1。为什么要开发模型呢?因为之前识别恶性商家,你只能通过用户举报和人肉识别异常数据的方式,人力成本高且速率很慢。你指望有智能的算法来提高效率。

之前监察团队的成果告诉我们,目前平台上的恶性商户比率为0.2%,记为P(E),那么P(~E)就是99.8%。利用模型M1进行检测,你发现在监察团队已判定的恶性商户中,由模型M1所判定为阳性(恶性商户)的人数占比为90%,这是一个条件概率,表示为P(P|E)=90%;在监察团队判定为健康商户群体中,由模型M1判定为阳性的人数占比为8%,表示为P(P|~E)=8%。乍看之下,你是不是觉得这个模型的准确度不够呢?感觉对商户有8%的误杀,还有10%的漏判。其实不然,这个模型的结果不是你想当然的这么使用的

这里,我们需要使用一个称为“全概率公式”的计算模型,来计算出在M1判别某个商户为恶性商户时,这个结果的可信度有多高。这正是贝叶斯模型的核心。当M1判别某个商户为恶性商户时,这个商户的确是恶性商户的概率由P(E|P)表示:

P(E|P)

=P(P|E)*P(E) (P(E)*P(P|E)+P(~E)*P(P|~E))

上面就是全概率公式。要知道判别为恶性商户的前提下,该商户实际为恶性商户的概率,需要由先前的恶性商户比率P(E),以判别的恶性商户中的结果为阳性的商户比率P(P|E),以判别为健康商户中的结果为阳性的比率P(P|~E),以判别商户中健康商户的比率P(~E)来共同决定。

P(E)     0.2%
P(P|E)  90%
P(~E)   99.8%
P(P|~E)  8%
P(E|P)= P(P|E)*P(E) / (P(E)*P(P|E)+P(~E)*P(P|~E))  2.2%

由上面的数字,带入全概率公式后,我们获得的结果为2.2%。也就是说,根据M1的判别为阳性的结果,某个商户实际为恶性商户的概率为2.2%,是不进行判别的0.2%的11倍。

你可能认为2.2%的概率并不算高。但实际情况下你应该这么思考:被M1模型判别为恶性商户,说明这家商户做出恶性行为的概率是一般商户的11倍,那么,就非常有必要用进一步的手段进行检查了。

恶性商户判别模型真正的使用逻辑应该是如下图所示。我们先用M1进行一轮判别,结果是阳性的商户,说明出现恶性行为的概率是一般商户的11倍,那么有必要用精度更高的方式进行判别,或者人工介入进行检查。精度更高的检查和人工介入,成本都是非常高的。因此M1模型的使用能够使我们的成本得到大幅节约。

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贝叶斯模型在很多方面都有应用,我们熟知的领域就有垃圾邮件识别、文本的模糊匹配、欺诈判别、商品推荐等等。通过贝叶斯模型的阐述,大家应该有这样的一种体会:分析模型并不取决于多么复杂的数学公式,多么高级的软件工具,多么高深的算法组合;它们的原理往往是通俗易懂的,实现起来也没有多高的门槛。比如贝叶斯模型,用Excel的单元格和加减乘除的符号就能实现。所以,不要觉得数据分析建模有多遥远,其实就在你手边。

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