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小白学统计(20)连续型随机变量概率分布——指数分布

指数分布是连续型随机变量的另一种概率分布,它主要应用在随机事件之间发生的时间间隔的概率问题。例如,用它描述电子产品由使用到发生故障的时间的概率,描述两次电话之间时间间隔的概率,描述两位顾客到达商店间隔时间的概率等。前面讲述的泊松分布是描述某一区间内发生随机事件次数的概率分布,而指数分布是描述两次随机事件发生时间间隔的概率分布。因此,两种分布有着密切的关系,在管理科学中经常将两者结合起来共同解决排队理论等有关问题。

指数分布的概率密度为:

小白学统计(20)连续型随机变量概率分布——指数分布

式中:x是给定的时间;λ为单位时间事件发生的次数;e=2.71828。

指数分布概率密度曲线如下图:

小白学统计(20)连续型随机变量概率分布——指数分布

指数分布具有以下特征:

  1. 随机变量X的取值范围是从0到无穷;
  2. 极大值在x=0处,即f(x)=λ;
  3. 函数为右偏,且随着x的增大,曲线稳步递减;
  4. 随机变量的期望值和方差为=1/λ,σ2=1/λ2

通过对概率密度函数的积分,就可以得到相应的概率,其表达式有两种

P(X≥x)=eλx

P(X≤x)=1-eλx

例:某电视机生产厂生产的电视机平均10年出现大的故障,且故障发生的次数服从泊松分布。

问(1)该电视机使用15年后还没有出现大故障的比例;(2)如果厂家想提供大故障免费维修的质量担保,但不能超过全部产量的20%,试确定提供担保的年数。

解:

(1)设X为电视机出现大故障的时间。已知=10年,则λ=1/=0.1,于是,P(X≥x)=eλx=e-0.1*15≈0.223。则15年后,没有出现大故障的电视机约占22.3%。

(2)问题要求比例不超过20%,这是求X的右侧概率面积,现在根据公式确定适当的X值。

电视机各年累计出现的故障比例
担保年数X累计概率P(X≤x)=1-eλx
10.095
20.181
30.259

从表中可以看到:担保2年时,出现大故障的比例是18.1%,不超过20%。担保3年时,出现大故障的比例为25.9%,已经超过20%。所以,厂家应以2年为担保期。

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