小白学统计（33）大样本（n≥30）条件下总体均值?的区间估计

大样本（n≥30）条件下的区间估计

当样本容量为大样本时，根据中心极限定理，样本均值`X的抽样分布以正态分布为极限，此时可以不用考虑通体的分布形式。估计时，根据总体标准差σ是否已知分为两种形式：

1、 总体标准差σ已知，的置信度为1-α的置信区间为

`X-Z<sub>α/2</sub>*σ/n<<`X+Z_α/2*σ/n

2、 总体标准差σ未知，的置信度为1-α的置信区间为

`X-Z<sub>α/2</sub>*S/n<<`X+Z_α/2*S/n

在有限总体中进行抽样时，如果是非重复抽样，要使用有限修正因子来修正估计平均误差。如果考虑修正因子，则上面的置信区间改写为

`X-Z<sub>α/2</sub>*σ/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Z_α/2*σ/n*(N-n)/(N-1)

`X-Z<sub>α/2</sub>*S/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Z_α/2*S/n*(N-n)/(N-1)

大家在以后的使用中，需要根据给定条件来确定是否需要修正。

例1：

某大学从某一学院中随机抽取学生100人，得知他们平均每天用于体育锻炼的时间为26min。根据以往的数据知道，该学院大学生每天体育锻炼时间的标准差为12min。试求该学院大学生平均每天体育锻炼时间的置信区间，置信度为95.45%。

解：由题中可知：`X＝26，n＝100，σ＝12，由1-α＝95.45%，得α＝0.0455。该学院虽为有限总体，但N未知，可看为无穷大，故不用考虑修正因子。查表得

Z_α/2＝Z_0.0455/2＝2，则的置信区间为

`X-Z<sub>α/2</sub>*S/n<<`X+Z_α/2*S/n = (26-2*12/100,26+2*12/100) = (23.6, 28.4)

可以解释为：有95.45%的可靠程度，估计该学院大学生平均每天体育锻炼的时间在23.6～28.4min之间。

例2：

在例1中，如果已知该学院全部学生为1800人，其它已知条件同例1。试求该学院学生平均每天体育锻炼时间的置信区间。

解：与例1不同的是，总体单位N＝1800已知，且n/N＝0.056>0.05，因此需要用有限修正因子修正，则的置信区间为

`X-Z<sub>α/2</sub>*σ/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Z_α/2*σ/n*(N-n)/(N-1) = (26-2*12/100*(1800-100)/(1800-1), 26+2*12/100*(1800-100)/(1800-1)) = (23.7, 28.3)

可以解释为：有95.45%的可靠程度，估计该学院大学生平均每天体育锻炼的时间在23.7～28.3min之间。

从例1和例2估计的平均每天锻炼时间的结果做比较，可以看出，在同样的条件下，使用修正因子，可以提高估计的精度。