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小白学统计(47)总体参数的区间估计——小样本(n<30)条件下总体均值?的区间估计

当n<30时,总体分布对样本均值`X的抽样分布有很大影响。

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当n<30时,总体分布对样本均值`X的抽样分布有很大影响。如果总体服从正态分布,则`X服从正态分布;如果总体不服从正态分布,则`X的抽样分布很难判断,这时可以利用切比雪夫不等式对总体均值进行估计(后面会详细叙述)。下面我们仅介绍总体服从正态分布时,均值的区间估计。

1、总体标准差σ已知,的置信度为1-α的置信区间和大样本(n≥30)的公式一致

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2、 总体标准差σ未知,的置信度为1-α的置信区间与大样本(n≥30)不同,对于正态分布总体,当n<30时,可以证明

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即表示随机变量(`X-)/(S/n)服从自由度为n-1的t分布。由参数区间估计的确定步骤可以将上面的公式转换为的置信区间形式,即

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可以简写为:

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例:

从某公司生存的一批罐装产品中,随机抽取10罐产品,测得每罐的质量分别为318,320,322,321,321,323,319,320,320,324(单位:g)。要求以95%的置信度,估计该公司这批产品平均质量的置信区间。已知罐装质量服从正态分布。

解:本例是从正态总体中抽取小样本的问题。因为N未知,可以不考虑修正因子。总体方差未知,需要根据样本数据计算样本均值`X和样本方差S。

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又已知1-α=95%,α=5%,查表可得tα/2(n-1)=t0.05/2(10-1)=2.262,则的置信区间为

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即该产品的平均质量为319.5g至322.1g之间,可靠程度为95%。

如果我们只关心产品质量的下限是否达到标准,则可以只对平均质量的单侧置信下限进行估计。假设其它条件相同

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即有95%的可靠程度,估计该批产品平均质量的下限为319.8g。

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