基础准备
在多样本的参数估计与假设检验基础和方差分析：单因素方差分析中以单因素方差分析为例，介绍了对于多个总体（大于等于3）均值假设检验的原理和假设检验过程，文章中多个总体是以单因素为标准划分的，不同总体有n个水平，以下表为例：
如果多个总体由两个因素影响，需要用到两因素方差分析，就是在方差分析中需要考虑两个因素对因变量结果的影响，两因素方差分析有两种类型：1、有交互作用的方差分析：两个因素对因变量都有影响，同时还有两因素同时存在时，共同对因变量产生的影响。2、无交互作用的方差分析：两个因素对因变量的影响是独立的，不存在对因变量的共同影响。它们的取样要求也是不一样的：
进行无交互作用的方差分析，一般是在完成有交互作用方差分析之后，当检验结果证明交互作用不显著时，就可以不考虑这个影响，重新进行无交互作用的方差分析。或者是在观察（试验）之前，有意识地控制某一因素，主要研究另一因素对因变量的影响，这样的观察（试验）的结果也适合做无交互作用方差分析。
有交互作用方差分析步骤
1、建立建设
对于A因素（行因素）
H0: μ1=μ2=…=μr；
H1: μ1，μ2，…，μr不全相等。
对于B因素（列因素）
H0: μ1=μ2=…=μc；
H1: μ1，μ2，…，μc不全相等。
对于AB交互因素
H0: 不存在交互作用影响；
H1: 存在交互作用影响。
2、各均值的计算公式
3、计算各项离差平方和
4、计算均方
MSA=SSA/(r-1)
MSB=SSB/(c-1)
MSAB=SSAB/(c-1)(r-1)
MSE=SSE/rc(n-1)
5、构造检验的F统计量
对于A因素，FA=MSA/MSE~Fα[r-1,rc(n-1)]
对于B因素，FB=MSB/MSE~Fα[c-1,rc(n-1)]
对于AB交互因素，FAB=MSAB/MSE~Fα[(c-1)(r-1),rc(n-1)]；
对于上述三个因素，如果给定α，当F>Fα时，则可拒绝各自的H0，接受H1；如果F<Fα，则接受各自的H0，拒绝H1。
上述计算结果可以通过方差分析表：
范例分析
如果人事部门想同时研究奖励制度和领导的类型两个因素对员工生产力的影响，则需要调查更多的数据。下表给出了每个水平交叉单元都包含三个数据的调查资料。试检验各因素对员工生产力的影响是否一致？（α=0.05）
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解：1、建立假设
关于奖励制度假设
H0: μ1=μ2=μ3；
H1: μ1，μ2，μ3不全相等。
关于领导类型假设
H0: μ1=μ2=μ3；
H1: μ1，μ2，μ3不全相等。
关于交互作用假设
H0: 不存在交互作用的影响；
H1: 存在交互作用的影响。
2、各均值的计算
根据题目数据，求出各均值，列于下表：
3、计算各项离差平方和
同样可以证明SST=SSA+SSB+SSAB+SSE=6.222+28.667+65.775+25.333=126
4、计算均方
因素A差异，自由度为r-1=3-1=2，所以因素A均方MSA为：MSA=6.222/2=3.111
因素B差异，自由度为c-1=3-1=2，所以因素A均方MSB为：MSB=28.667/2=14.333
交互因素AB差异，自由度为(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4，所以交互因素AB均方MSAB为：MSAB=65.778/4=16.444
内部差异，自由度为rc(k-1)=3*3*(3-1)=18，所以内部均方为：MSE=25.333/18=1.407
5、构造检验的F统计量
FA=MSA/MSE=3.111/1.407=2.211
FB=MSB/MSE=14.333/1.407=10.184
FAB=MSA/MSE=16.444/1.407=11.684
方差分析表：
根据给定显著水平α=0.05，查F分布表，得F0.05(2,18)=3.55，F0.05(4,18)=2.93。
对于A因素，FA=2.211<3.55= F0.05(2,18)，落在接受域，即领导的类型对员工生产力的影响没有显著差别。
对于B因素，FB=10.184>3.55= F0.05(2,18)，落在拒绝域，即奖励制度对员工生产力的影响显著不同。
对于AB交叉作用，FAB=16.444>2.93= F0.05(4,18)，落在拒绝域，即AB交互作用对员工的生产力的影响是显著不同的。这就是说，领导的类型的水平本身没有影响，但当与奖励制度水平结合时就产生了交互作用的影响。
在进行两因素方差分析时，如果存在交互作用，主要影响就变得不再重要，就不能再使用通常的方法分析主要影响，检验结果已不能明确地说明行或列影响的差异是否显著。因此，当存在交互作用的影响时，一般不应去解释行或列因素的主要影响。
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