统计学

两个总体均值差的假设检验

两个总体均值差的区间估计

今篇着重介绍成对（配对）两样本的两总体均值之差假设检验

估计和假设检验根据样本数的不同，分为：单样本估计和假设检验；两样本估计和假设检验；多样本估计和假设检验。

如果统计量的数值落在接受域内，则作出的结论可能犯“取伪”错误，而且犯“取伪”错误的概率β是不可知的。

总体成数的假设检验

对于标准差未知的总体均值，总体方差和总体标准差的假设检验应该如何进行呢？

当n<30时，总体分布对样本均值`X的抽样分布有很大影响。

企业通过大数据建立客户画像，以此找到客户需求，进行精准营销。然而，许多人认为线上数据不具有代表性，无法代表线下市场，真的是这样吗？

此文为《赤裸裸的统计学》读后感，结合着一些互联网分析的知识来看，发现很多理念隐隐有互通之处，十分有趣。推荐大家阅读。

大样本（n≥30）条件下的区间估计 当样本容量为大样本时，根据中心极限定理，样本均值`X的抽样分布以正态分布为极限，此时可以不用考虑通体的分布形式。估计时，根据总体标准差σ是否已知分为两种形式： 1、 总体标准差σ已知，的置信度为1-α的置信区间为 `X-Zα/2*σ/n<<`X+Zα/2*σ/n 2、 总体标准差σ未知，的置信度为1-α的置信区间为 `X-Zα/2*S/n<<`X+Zα/2*S/n 在有限总体中进行抽样时，如果是非重复抽样，要使用有限修正因子来修正估计平均误差。如果考虑修正因子，则上面的置信区间改写为 `X-Zα/2*σ/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Zα/2*σ/n*(N-n)/(N-1) `X-Zα/2*S/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Zα/2*S/n*(N-n)/(N-1) 大家在以后的使用中，需要根据给定条件来确定是否需要修正。 例1： 某大学从某一学院中随机抽取学生100人，得知他们平均每天用于体育锻炼的时间为26min。根据以往的数据知道，该学院大学生每天体育锻炼时间的标准差为12min。试求该学院大学生平均每天体育锻炼时间的置信区间，置信度为95.45%。 解：由题中可知：`X＝26，n＝100，σ＝12，由1-α＝95.45%，得α＝0.0455。该学院虽为有限总体，但N未知，可看为无穷大，故不用考虑修正因子。查表得 Zα/2＝Z0.0455/2＝2，则的置信区间为 `X-Zα/2*S/n<<`X+Zα/2*S/n = (26-2*12/100,26+2*12/100) = (23.6, 28.4) 可以解释为：有95.45%的可靠程度，估计该学院大学生平均每天体育锻炼的时间在23.6～28.4min之间。 例2： 在例1中，如果已知该学院全部学生为1800人，其它已知条件同例1。试求该学院学生平均每天体育锻炼时间的置信区间。 解：与例1不同的是，总体单位N＝1800已知，且n/N＝0.056>0.05，因此需要用有限修正因子修正，则的置信区间为 `X-Zα/2*σ/n*(N-n)/(N-1)<<`X+Zα/2*σ/n*(N-n)/(N-1) = (26-2*12/100*(1800-100)/(1800-1), 26+2*12/100*(1800-100)/(1800-1)) = (23.7, 28.3) 可以解释为：有95.45%的可靠程度，估计该学院大学生平均每天体育锻炼的时间在23.7～28.3min之间。 从例1和例2估计的平均每天锻炼时间的结果做比较，可以看出，在同样的条件下，使用修正因子，可以提高估计的精度。

基础准备 假设检验基础概念回顾： 小白学统计（41）假设检验的“前世今生” 单样本假设检验的应用 假设检验需要设立一对统计假设：原假设（零假设）和备择假设（对立假设）。其中原假设一般是一明确的语句：未知的总体参数等于某个特殊的数值，然后对其进行检验。因此，单样本假设检验可用于探测参数的变化，例如：在科学研究中，检验某新型的汽油添加剂是否能增加每升油的行驶公里数？某新型血压药对体温是否有影响？在工业质量控制中，工厂检查其薯片产品是否与列在包装上的脂肪含量一致；检查巧克力的重量是否与包装上重量一致等等。 单样本假设检验步骤 单样本假设检验步骤如下： (1)选择零假设和对立假设； (2)选择显著水平α； (3)决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述； (4)从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值； (5)由样本结果和决策规则决定是拒绝还是接受原假设（零假设）； (6)检验的功效。 (1)选择零假设和对立假设 一个零假设和一个对立假设组成一对统计假设（原假设和对立假设的概念描述请回顾：假设检验原理——原假设和备择假设的建立），这样成对的统计假设可以分为两类三种：单侧假设检验和双侧假设检验（两类）；无方向对立假设、左向对立假设和右向对立假设（三种）。那如何选择统计假设呢？ 单侧假设检验：只有一个方向上的变化是重要的（某种新型减肥药实际减肥多少）或研究的假设预告了一个具体的变化方向（某种新的治疗肿瘤会减小）时用单侧假设合适。有的需要检验是否变大，有的检验是否变小。 双侧假设检验：对于探索性研究和质量控制，因为任何一个方向的变化都要检查，单检验就不合适了，应该用双侧假设检验，例如控制产品的重量和产品内某种物质的含量。 (2)选择显著水平α 回忆估计理论，总体均值的区间估计概率公式如下： 其中，1-α称为置信度或置信系数，(1-α)100%称为置信水平。以双尾为例，如下图： 在假设检验理论中，α是假设检验的显著水平，这是因为它用以评估样本结果的显著性，如果点估计值与零假设中的假设参数有很大差别，以至于P≤α，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>α，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。如上图所示，临界域即为统计显著域，接受域为非统计显著域。 显著水平α在试验前设定为0.05或0.01。例如当α=0.05时，分析人员会在报告中说明“统计假设检验是在0.05显著水平（或5%显著水平）下进行的”，如果P≤0.05，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>0.05，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。 从上图中可以看出，如果P≤0.05，阴影面积比P≤0.01的大，所以P≤0.05可说成是“显著的结果”，P≤0.01可说成是“高度显著的结果”。P≤0.01比P≤0.05发生第一类错误的概率α小。 (3)决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述； (4)从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值； 根据假设检验的总体参数和已知的信息，选择假设检验的统计量。在上一篇：假设检验的“前世今生”中解释过合适的统计量是假设检验的基础。 对于总体均值的假设检验，可用下表选择： 对于总体方差的假设检验，可以用卡方分布。 下面以Z统计量为例，说明假设检验原理： 如果在(1)中设定的总体均值的统计假设是双侧假设：H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0。假定零假设为真，则可知：如果所有容量为n的随机样本来自于无限大的正态总体（已知标准差为σ），且对每一样本计算均值，该情况下均值的抽样分布是正态分布： 因为抽样分布为正态分布，可进行正态变换，将抽样分布统计量变换为Z统计量： 变换后的Z统计量可以用来度量零假设为真的可能性。如果对一个给定样本计算Z统计量的特定值，几座z1，若z1=0，该样本均值一定等于μ0（红框公式），因而H0:μ=μ0很可能为真。然后，当z1是一较大数时，在零的正或负向，即z1=α或z1=-α，则样本均值与μ0有相当距离，因此，H0:μ=μ0不太可能为真。通过计算P值，即可将可能性量化，进而进行统计假设检验决策。如下图所示： P值得计算： 对于双侧假设检验，P值就是两个阴影部分的面积和（如上图所示）；如果是单侧假设检验，就是左侧面积或者右侧面积。阴影部分面积用标准正态分布表查得。 (5)由样本结果和决策规则决定是拒绝还是接受原假设（零假设）； 将计算得到的P值与显著水平α比较，P≤α，则拒绝零假设，接受对立假设；如果P>α，则接受零假设。 另外也可以通过比较临界z值来决定是拒绝还是接受零假设。因为P值和z值是等价的，例如，如果z1>1.645成立，则P≤0.05成立。 (6)检验的功效 在两类错误介绍中：假设检验——两类错误，可列出下面的表格： 从表格可以知道，第一类错误（零假设为真拒绝）的概率α是检验的显著性水平：若P≤α，则拒绝零假设。然而在任何此种统计决策中，存在第二类错误：就是零假设不真被接受，它的概率是β。α和1-α是已知的，由研究者在检验前设置，但β和1-β的值是不能确定的，因为不知道总体的参数，所以无法证明H0的真与不真。但是α和β的关系是相反的：α越大，β越小，反之亦然。如下图所示：α越大，接受域越小，接受不真的零假设的概率β也越小。 假设检验的功效就是正确拒绝错误零假设的概率1-β。求解方法见例题。 范例分析 如果某电池生产商最近设立了一个改进计算器电池的项目，要求改进的电池比现有的电池使用时间长，已知现在计算器中，电池寿命的量度是正态分布的，均值为100.3min，标准差为 6.25min。现在开发了一种改进电池，在理论上可能持续更长时间，由初步检验可以假定期寿命量度也是正态分布，标准差为6.25min。选取了一个n=20的改进电池的样本，得到均值为 105.6min，在显著水平α=0.05下，作H0: μ=100.3min的单侧检验，并用P值（z值）叙述决策。 假设功效，如下图所示：

在进行假设检验时，一般按以下四个步骤顺序进行：1、根据问题建立原假设和备择假设；2、选择适当的样本统计量，并确定以H0为真时的抽样分布；3、选定显著性水平α，确定临界值；4、进行判别，得出结论。

假设设定以后，需要设定一个判别标准，用以判断样本数据为多少时才可以接受原假设或者拒绝原假设。

在参数检验中，首先要对某一总体参数建立一个假设，并在随后的抽样推断中以这一假设为前提进行检验。这一假设被称为原假设，用H0表示。如果检验的结果不能拒绝原假设，就接收这一假设。